$\tan \theta +cot\theta =2\cos ec\theta ,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ হলে $\theta$-এর মান কত? (What is the value of $\theta$ that satisfies tan $\tan \theta +cot\theta =2\cos ec\theta ,0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$)

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\[
\tan\theta + \cot\theta = 2\csc\theta, \quad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.
\]

### সমাধান ধাপে ধাপে:

---

#### ধাপ ১: ত্রিকোণমিতিক সনাক্তকরণগুলো মনে করি
1. \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\),
2. \(\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\),
3. \(\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}\)।

এগুলো সমীকরণে বসাই:
\[
\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = 2 \cdot \frac{1}{\sin\theta}.
\]

---

#### ধাপ ২: সমীকরণটি সরল করা
বাম দিকটিকে একটি সাধারণ হার নির্ণায়কের (common denominator) অধীনে আনা যাক:
\[
\frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{2}{\sin\theta}।
\]

পাইথাগোরিয় উপপাদ্য \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) ব্যবহার করে, এটি হবে:
\[
\frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{2}{\sin\theta}।
\]

---

#### ধাপ ৩: \(\sin\theta\) সরিয়ে ফেলা (ধরি \(\sin\theta \neq 0\))
উভয় পাশে \(\sin\theta\) দ্বারা গুণ করি:
\[
\frac{1}{\cos\theta} = 2।
\]

---

#### ধাপ ৪: \(\cos\theta\) এর মান নির্ণয় করা
পুনর্বিন্যাস করে পাই:
\[
\cos\theta = \frac{1}{2}।
\]

---

#### ধাপ ৫: \(\theta\) এর মান নির্ণয় করা
পরিসীমা \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\) এর মধ্যে, \(\cos\theta = \frac{1}{2}\) এর জন্য \(\theta\)-এর মান হলো:
\[
\theta = \frac{\pi}{3}।
\]

---

### চূড়ান্ত উত্তর:
\[
\theta = \frac{\pi}{3}।
\]